원뿔진자의 구심력 또는 구심가속도를 구하는 방법

원뿔진자의 구심력이나 구심가속도를 구하는 문제가 물리I에서 간혹 출제가 되는데, 접해본 학생들은 굉장히 쉬운 문제가 되고, 사실 접해보지 않은 학생들도 운동방정식을 세워서 풀면 아주 쉽게 풀어지는 문제입니다.

 

원뿔진자의 운동

 

위와 같은 원뿔 진자가 있다면 문제에서 실의 길이(L), 높이(h), 원의 반지름(r), 물체의 질량(m) 또는 무게(mg), 그리고 진자가 회전 운동을 하면서 이루는 각(Θ)을 줍니다.

 

자, 그러면 실의 장력(T)이 작용하는 것과 물체에 작용하는 중력(mg)을 기준으로 중력가속도의 방향과 중력가속도에 수직인 방향, 즉 구심력이 작용하는 방향으로 힘을 분해하면 됩니다. 편의상 우리가 익숙한 xy 좌표계를 적용해서 x 방향과 y 방향으로 칭하겠습니다.

 

장력 T를 분해하면 x 방향은 Tsinθ, y 방향은 Tcosθ가 됩니다.

 

그러면 운동방정식을 세워보면

 

• x 방향 : Tsinθ = 구심력 (장력의 x축 방향 힘이 구심력이 되어야 하므로)
• y 방향 : Tcosθ - mg = 0 따라서 Tcosθ = mg

 

위의 식을 아래 식으로 나누면 tanθ = 구심력 / mg

 

따라서 구심력은 mgtanθ가 됩니다.

 

만약 구심가속도를 구하라고 하면 

뉴턴운동법칙에 따라 F = ma 이므로, 구심가속도 a = gtanθ 가 됩니다.

 

이 문제는 사실 실의 길이도, 높이도, 반지름도 필요가 없고 물체의 질량과 진자의 운동 각도만 알면 구할 수 있는 문제고요, 구심력과 구심가속도의 공식을 전혀 몰라도 풀 수가 있는 문제입니다.

 

물리I에 출제되어야 할 문제인데 물리II에 구심력과 구심가속도가 등속원운동 단원에서 나오다 보니까 물리II 시험에 출제되기도 하는데, 이 원뿔진자의 풀이는 곡선 경로의 도로에 경사를 두는 이유가 설명되는 풀이이기도 합니다.

 

평지의 곡선도로를 자동차가 달릴 때 자동차의 운동 방향에 수직으로 작용하는 마찰력이 구심력으로 작용하는 것으로 힘을 분해하고 풀이하면 손쉽게 접근할 수 있습니다.

2025.04.23 - [과학] - 곡선 도로에 경사를 두는 이유 (마찰력 = 구심력)

곡선 도로에 경사를 두는 이유 (마찰력 = 구심력)