인공위성의 운동 (속력, 주기) 및 탈출속도

행성의 운동과 케플러 법칙에 대해서 이해를 하고 중력 법칙을 유도하고 나면 인공위성의 운동에 대해서도 정리를 할 수가 있는데요, 여기에 대해서 수식이 어떻게 유도가 되는지 포스팅해 보겠습니다. 참고로 고등학생 수준에서 이해할 수 있는 내용으로 정리하였습니다.

 

인공위성의 속력과 주기

인공위성은 여러 목적을 가지고 인위적으로 행성 주위를 공전하도록 만든 물체인데요, 인공위성과 행성 사이에 작용하는 중력이 구심력 역할을 하게 됩니다.

 

지구의 주위를 궤도를 따라 등속원운동하는 인공위성

 

여기서 행성을 쉽게 지구라고 하고 질량은 M, 인공위성이 반지름 r의 궤도를 따라 운동하며 질량이 m이라고 할 때, 지구의 중력이 구심력으로 작용하여 등속원운동을 하는 인공위성의 회전 속력은 아래와 같은 식으로부터 쉽게 구해지게 됩니다.

 

인공위성의 속도는 궤도 반지름 역수의 제곱근에 비례하게 된다.

 

여기서 우리는 인공위성의 속력이 인공위성의 질량과는 관계가 없고 궤도 반지름의 제곱근에 반비례하게 된다는 것을 알 수 있습니다.

 

인공위성의 공전 주기는 인공위성의 속력이 궤도 한 바퀴를 주기(T)로 나눈 것과 같음을 이용하면 아래와 같이 쉽게 확인할 수 있습니다.

 

인공위성의 공전 주기의 제곱은 궤도 반지름의 세제곱에 비례

 

여기서 우리는 인공위성의 공전 주기의 제곱이 궤도 반지름의 세제곱에 비례하는 것을 알 수가 있습니다. 케플러 제3법칙(조화법칙)이 여기에서도 성립한다는 것 역시 알 수가 있죠.

 

우리는 위에서 인공위성의 속력, 주기, 구심가속도 모두 인공위성의 질량과는 관계가 없다는 것을 유도했습니다.

 

행성으로부터 탈출속도 (escape velocity)

역학적 에너지는 운동에너지(Ek)와 퍼텐셀에너지(Ep)의 합인데요, 역학적 에너지는 보존이 된다는 것을 알고 있습니다. 자, 여기서 우리는 중력에 의한 위치에너지, Ep = mgh라고 알고 있지만 사실 이 식은 행성의 지표면 부근에서만 성립이 되는 식입니다.

 

자, 그러면 중력 위치에너지를 어떻게 구하냐 하면 중력 법칙 적분해주면 됩니다. 힘과 거리에 대한 적분이 일의 양, 다시 말해서 에너지이기 때문입니다.

 

위치에너지를 구하기 위해서 지구의 반지름 r을 인공위성의 탈출 위치인 무한대로 보내는 거리까지 적분한다.

 

자, 그러면 여기서 Ep(∞) - Ep(r)의 값이 GMm/r이 되어야 하고, Ep(∞)=0 이므로, 위치에너지는 최종적으로 아래와 같습니다.

 

Ep(r) = -GMm / r

 

이제 다 되었죠. 지구 표면에서의 역학적 에너지와 중력의 영향을 벗어나 탈출한 곳, 즉 무한대인 곳에서의 역학적 에너지, Ek + Ep가 보존이 되어야 합니다. 하지만, 위에 살짝 언급했듯이 인공위성이 탈출을 하게 되면 무한대인 곳에서 정지상태가 되기 때문에 Ek = 0, 그리고 Ep = 0이 됩니다.

 

그러면 역학적 에너지 보존을 이용해서 아래와 같이 탈출속도를 계산해 낼 수 있게 됩니다.

 

운동에너지와 위치에너지가 모두 0이 되므로 탈출속도가 계산이 된다.

 

자, 이제 우리는 어느 행성이든 질량과 반지름을 알면 중력상수와 함께 이루어진 위의 식으로부터 탈출속도를 구할 수 있게 되었습니다.

---

참고로 물리를 공부하는 학생들은 이런 유도식들을 외우지 마세요. 위의 유도 과정을 혼자 한두 번만 풀어보면 암기하지 않아도 됩니다.